Типовой расчёт 8: «Функции нескольких переменных»
Методичка к типовому расчёту 8 «Функции нескольких переменных»
Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина (РГРТУ им. В.Ф. Уткина)
Высшая математика
В математическом анализе и его приложениях функция нескольких действительных переменных или действительная многомерная функция — это функция с более чем одним аргументом, причем все аргументы являются действительными переменными. Эта концепция расширяет идею функции действительной переменной на несколько переменных. «Входные» переменные принимают реальные значения, в то время как «выходные», также называемые «значением функции», могут быть реальными или сложными. Однако изучение комплекснозначных функций может быть легко сведено к изучению вещественных функций путем рассмотрения действительной и мнимой частей комплексной функции; поэтому, если явно не указано, в этой статье будут рассмотрены только вещественные функции.
Область функции из n переменных — это подмножество \( \mathbb {R} ^{n}\), для которого определена функция. Как обычно, предполагается, что область функции нескольких вещественных переменных содержит непустое открытое подмножество \( \mathbb {R} ^{n} \)
Типовые задания:
Задание 1: Найти область определения функции и изобразить её на координатной плоскости.
Задание 2: Изобразить на координатной плоскости линии уровня для функции
Задание 3: Для функции найти:
а) дифференциал первого порядка в точке M0;
б) градиент в точке M0;
в) производную функции в точке M0 в направлении, идущем от этой точки к точке M .
Задания 4-8: Найти производную
Задание 9: Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности S в точке M0
Задание 10: Найти производную второго порядка для функции в заданной точке.
Задание 11: Разложить функцию по степеням с помощью многочлена Тейлора.
Задание 12: Найти экстремум функции двух переменных.
Задание 13: Найти экстремум функции трёх переменных.
Задание 14: Найти наименьшее и наибольшее значение функции в области D, ограниченной заданными линиями
Задание 15: Найти точки экстремума функции (метолом неопределённых множителей Лагранжа)